A strictly hyperbolic equilibrium phase transition model

This Note is concerned with the strict hyperbolicity of the compressible Euler equations equipped with an equation of state that describes the thermodynamical equilibrium between the liquid phase and the vapor phase of a fluid. The proof is valid for a very wide class of fluids. The argument only relies on smoothness assumptions and on the classical thermodynamical stability assumptions, that requires a definite negative Hessian matrix for each phase entropy as a function of the specific volume and internal energy. To cite this article: G. Allaire et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007). © 2006 Académie des sciences. Published by Elsevier Masson SAS. All rights reserved. Résumé Un modèle strictement hyperbolique de changement de phase à l’équilibre. Cette Note a pour but de démontrer la stricte hyperbolicité des équations d’Euler de la mécanique des fluides compressible lorsque le système est fermé par une équation d’état qui décrit l’équilibre thermodynamique d’un fluide entre sa phase liquide et sa phase vapeur. La preuve que nous proposons est valable pour une large classe de fluide. En effet, outre une hypothèse de régularité, les seules hypothèses nécessaires sont celles qui qualifient classiquement la stabilité d’un corps pur homogène : chaque phase doit être munie d’une entropie dont la matrice hessienne est définie négative relativement aux variables de volume et d’énergie interne spécifiques. Pour citer cet article : G. Allaire et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007). © 2006 Académie des sciences. Published by Elsevier Masson SAS. All rights reserved. Version française abrégée Nous proposons dans cette Note de démontrer le caractère strictement hyperbolique des équations d’Euler fermées par une loi d’état décrivant l’équilibre liquide–vapeur à saturation. Ce travail est motivé par l’étude du caractère bien-posé des systèmes utilisés pour la description des phénomènes de changement de phase liquide–vapeur [1,2,5,10–12,14]. Le système diphasique que nous considérons est constitué de deux phases α = 1,2 représentant respectivement la vapeur et le liquide. Chaque phase est supposée munie d’une loi d’état sα:wα = (τα, εα) → sα où τα , εα , sα sont respectivement le volume, l’énergie interne et l’entropie spécifiques de la phase α = 1,2. Nous supposerons que les E-mail addresses: [email protected] (G. Allaire), [email protected] (G. Faccanoni), [email protected] (S. Kokh). 1631-073X/$ – see front matter © 2006 Académie des sciences. Published by Elsevier Masson SAS. All rights reserved. doi:10.1016/j.crma.2006.11.008 136 G. Allaire et al. / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007) 135–140 hypothèses classiques de stabilité d’un corps pur données par les inégalités (2) sont vérifiées pour sα , de même que la positivité des variables d’états τα 0 et εα 0, α = 1,2. Nous nous donnons la loi d’état de notre système diphasique par la donnée d’une fonction entropie spécifique (w1,w2, y) → σ définie classiquement (voir [4]) par la relation (3), où y est la fraction de masse de la phase 1. Enfin, si l’on note w = (τ, ε) le volume et l’énergie interne spécifiques du système diphasique, alors par additivité des volumes et des énergies, pour un état w = (τ, ε) ∈ C = {τ 0, ε 0}, on a (w1,w2, y) ∈Q= {0 τα τ, 0 εα ε, 0 y 1 |w = yw1 + (1 − y)w2}. Si l’on suppose qu’à chaque instant le système atteint instantanément l’équilibre entre le liquide et la vapeur, alors l’application du second principe de la thermodynamique nous indique que pour une valeur w = (τ, ε) ∈ C donnée, la composition (w∗1,w∗2, y∗) du système sera telle que l’entropie σ(w1,w2, y) est maximale. Suivant [2], nous traduisons cette hypothèse en dotant le système diphasique d’une nouvelle fonction entropie w → seq définie par la relation (4) qui réalise la maximisation de σ à w donné. La stricte concavité de (w1,w2, y) → σ et un argument basé sur l’inf-convolution de fonctions convexes nous assure que la définition (4) est consistante et que w → seq est concave [2,10,11]. Il est bien connu que la stricte positivité de la vitesse du son, définie en (1), assure la stricte hyperbolicité du système des équations d’Euler : nous démontrons ici qu’effectivement c est strictement positive. Notons que la concavité de w → seq implique que c2 0 et donc que le système est toujours à caractéristiques réelles comme montré dans [1,2] et [14] où sont présentés des calculs pour le cas où les fluides α = 1,2 sont des stiffened gaz. Il est néanmoins nécessaire de poursuivre l’analyse car la concavité non-stricte de w → seq ne permet pas de conclure. En effet, on ne peut a priori écarter des cas où la vitesse du son s’annulerait de la même manière que pour les systèmes étudiés par [5–8] menant à une jacobienne associée au flux non-diagonalisable bien qu’à spectre réel. Afin de mener à bien cette analyse nous commençons par rappeler trois propositions. Tout d’abord la Proposition 2.1, qui est un résultat classique de thermodynamique [2,4] (utilisé à des fins de simulation numérique par [5–8,12]), décrit les états d’équilibre du système en optimisant la composition (w1,w2, y). Ensuite la Proposition 2.2 fournit une interprétation de cet équilibre via une construction géométrique de l’entropie d’équilibre seq basée sur l’analyse des bitangentes des graphes associées aux fonctions wα → sα . On définit grâce à cette proposition les états du système pour lesquels il y a coexistence de vapeur et de liquide à l’équilibre (états à saturation). Enfin, la Proposition 2.3 établit l’équivalence de l’épigraphe de w → seq avec l’enveloppe concave de l’ensemble {(w, s) | s max[s1(w), s2(w)]}. Cette dernière proposition établit que le graphe de w → seq dans les zones d’états à saturation est constitué de segments de l’espace (τ, ε, s) sur lesquels la pression, la température et le potentiel chimique sont constants. Ceci prouve que w → seq n’est effectivement pas strictement concave. Grâce à une hypothèse de régularité par morceaux (voir [3]) de seq, nous démontrons ensuite le Théorème 2.4 qui examine la matrice hessienne de w → seq dans les zones d’états à saturation, ainsi que la valeur de la pression et de la température du système. Finalement, en réinjectant ces résultats dans la définition de la vitesse du son (1), on conclut au Théorème 3.1 que la vitesse du son ne peut pas s’annuler.